Teorema das Bissetrizes Internas
Peter Faber
O Teorema das Bissetrizes Internas diz que, num triângulo, quando traçamos a bissetriz de um ângulo, ela corta o lado oposto em dois pedaços que mantêm a mesma proporção dos outros dois lados.
Se a bissetriz sai do vértice A e chega ao ponto D no lado BC, vale esta relação:
O ponto D não fica exatamente no meio. Ele fica onde essa proporção é respeitada.
A calculadora acima mostra isso: digite AB, AC e BC, e veja como a bissetriz divide o lado BC do jeito certo.
Axiomas que sustentam o Teorema das Bissetrizes Internas
O Teorema das Bissetrizes Internas se baseia em princípios da Geometria Euclidiana que tratam de proporções e igualdade de ângulos dentro de um triângulo:
- A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°.
- Por um ponto interno de um ângulo, é possível traçar uma única reta que divide esse ângulo em duas partes iguais.
- Se dois triângulos têm ângulos iguais, seus lados correspondentes estão em proporção.
- Segmentos proporcionais mantêm suas razões em qualquer figura semelhante.
Esses axiomas permitem demonstrar que a bissetriz, ao dividir o ângulo em duas partes iguais, também divide o lado oposto em partes proporcionais aos outros dois lados do triângulo.
Exercícios sobre o Teorema das Bissetrizes Internas
Exercísio 1
No triângulo 𝐴𝐵𝐶, o lado AB mede 6 cm, o lado AC mede 9 cm e o lado BC mede 10 cm.
A bissetriz parte do vértice A e encontra o lado BC no ponto D.
Quais são as medidas de BD e DC?
Resposta:
Exercício 2
Em um triângulo ABC, sabe-se que AB = 8cm, AC = 12cm e BC = 14cm.
A bissetriz interna parte de A e corta o lado BC em D.
Calcule o valor de BD e DC.
Resposta:
Exercício 3
Um triângulo isósceles possui AB = AC = 5cm e BC = 6cm.
A bissetriz parte do vértice A.
Qual é o comprimento de BD e de DC?
Resposta:
Como os lados são iguais (AB = AC), a bissetriz divide o lado oposto ao meio: