Teorema das Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Peter Faber
Traçamos a altura do ângulo reto até a hipotenusa. Isso divide a hipotenusa em dois segmentos, p e q.
A partir dessa construção, surgem três relações diretas entre os lados do triângulo.
𝑎² = c ⋅ p
𝑏² = c ⋅ q
Essas relações conectam catetos, hipotenusa, a altura e os segmentos p e q. É uma forma direta de calcular medidas sem ter que voltar ao Pitágoras a cada passo.
Produto importante:
Quando multiplicamos 𝑎² = c ⋅ p com 𝑏² = c ⋅ q:
a² ⋅ b² = (c ⋅ p)(c ⋅ q) = c² ⋅ (pq)
Usando pq = h²:
a²b² = c²h²
tirando a raiz quadrada:
a ⋅ b = c ⋅ h
Axiomas que sustentam o Teorema das Relações Métricas no Triângulo Retângulo
- A altura traçada no triângulo retângulo cria dois triângulos menores.
- Esses triângulos menores são semelhantes ao triângulo original.
- Triângulos semelhantes mantêm proporção entre seus lados correspondentes.
- Segmentos proporcionais preservam suas relações dentro das figuras.
Com isso, as igualdades ℎ² = p ⋅ q, 𝑎² = c ⋅ p e 𝑏² = c ⋅ q aparecem naturalmente.
Exercícios
Exercício 1
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 13cm e o segmento 𝑝 mede 5cm.
Calcule o cateto 𝑎.
Resposta:
𝑎² = c ⋅ p = 13 ⋅ 5 = 65 ⇒ a = √65
Exercício 2
Em um triângulo retângulo, p = 4cm e 𝑞 = 9cm.
Calcule a altura ℎ.
Resposta:
ℎ² = p ⋅ q = 4 ⋅ 9 = 36 ⇒ h = √36 = 6cm
Exercício 3
A hipotenusa mede 10cm e o segmento 𝑞 mede 4cm.
Calcule o cateto 𝑏.
Resposta:
𝑏² = c ⋅ q = 10 ⋅ 4 = 40 ⇒ b = √40 = √4 ⋅ √10 = 2√10