Teorema de Tales (e calculadora)
Peter Faber
O Teorema de Tales (proporcionalidade) mostra que, quando várias retas paralelas cortam duas retas transversais, os segmentos formados mantêm a mesma proporção.
Em outras palavras, se duas retas são atravessadas por um conjunto de paralelas, as partes em uma delas crescem ou diminuem na mesma razão que na outra.
Por que essa proporção acontece? Porque retas paralelas preservam ângulos.
Quando uma transversal corta paralelas, os ângulos correspondentes são iguais. Isso cria triângulos semelhantes.
E triângulos semelhantes sempre têm lados proporcionais. É essa semelhança que dá origem ao Teorema de Tales.
Use a calculadora acima: digite três comprimentos de segmentos, e o quarto será calculado automaticamente para manter a proporção correta.
Axiomas que sustentam o Teorema de Tales
O Teorema de Tales está fundamentado em alguns axiomas básicos da Geometria Euclidiana, que definem como as retas e proporções se comportam no plano:
- Por dois pontos distintos, passa uma única reta.
- Retas paralelas nunca se encontram, não importa o quanto sejam prolongadas.
- Se duas figuras têm ângulos iguais e lados proporcionais, elas são semelhantes.
- A proporção entre segmentos de retas permanece constante quando as retas são cortadas por paralelas.
Esses princípios garantem que, sempre que paralelas cruzam transversais, as medidas obtidas obedeçam à mesma razão. Exatamente o que o Teorema de Tales descreve.
Exemplos do Teorema de Tales
Exemplo 1
Em um desenho, duas retas transversais são cortadas por três retas paralelas.
Nos segmentos da primeira transversal, as distâncias são 4 cm e 6 cm.
Na segunda transversal, o primeiro segmento mede 8 cm.
Pelo Teorema de Tales, temos:
Logo, o segundo segmento mede 12 cm.
Exemplo 2
Uma sombra de poste de 5 m projeta 2 m no chão.
Um prédio projeta uma sombra de 20 m.
Pela proporção do Teorema de Tales:
O prédio mede 50 m de altura.